the below on the six modes is from here, a page from a very extensive Japanese language outline of gagaku music, with definitions as part of a Buddhist ceremony site.
六調子（ろくちょうし）
壱越調、平調、双調、黄鐘調、盤渉調、太食調の六つの調子をいう。洋楽にハ長調とか、ニ短調という調があるように、雅楽にも調子がある。もともと唐楽には12の調子があった。これを「十二調子」といい、これがさらに「母（おも）調子」と「枝（えだ）調子」に分けられていた。
| 母 調 子 | 枝 調 子 |
|---|---|
| 壱越調 いちこつちょう 平 調 ひょうじょう 双 調 そうじょう 黄鐘調 おうしきちょう 盤渉調 ばんしきちょう 太食調 たいしきちょう |
沙 陀 調 さだちょう ==>壱越調 |
しかし、近代において母調子に統一され、この母調子を「雅楽の六調子」と一般にいうようになった。舞楽曲として有名は「蘭陵王」は元来は沙陀調の曲であったが、いまは壱越調に属している。
唐楽の六調子の他に、高麗楽には三調子がある。高麗壱越調、高麗平調、高麗双調の三つである。